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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 30

Sejam a = (a_1 , a_2 , a_3) , b = (b_1 , b_2 , b_3) , c = (c_1 , c_2 , c_3) e d = (d_1 , d_2 , d_3) . Mostre que

(a + d) * (b xx c) = a * (b xx c) + d * (b xx c)

Passo 1

Vamos começar atribuindo coordenadas aos vetores (a + d) e (b xx c)

[[(a + d),=,([[a_1,+,d_1,a_2,+,d_2,a_3,+,d_3]])],[(b xx c),=,(alpha_1 , alpha_2 , alpha_3)]]

Agora, temos ([[a_1,+,d_1,,,a_2,+,d_2,,,a_3,+,d_3]]) * (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3)

Passo 2

Vamos aplicar a distributiva nesse produto para acharmos o ponto de partida para desenvolver essa expressão

(a + d) * (b xx c) = ([[(a_1 + d_1),*,alpha_1,,,(a_2 + d_2),*,alpha_2,,,(a_3 + d_3),*,alpha_3]])

Passo 3

Agora, vamos desenvolver a expressão

([[(a_1 + d_1),*,alpha_1,,,(a_2 + d_2),*,alpha_2,,,(a_3 + d_3),*,alpha_3]])

([[alpha_1,a_1,+,alpha_1,d_1,,,alpha_2,a_2,+,alpha_2,d_2,,,alpha_3,a_3,+ alpha_3,d_3]])

((a_1 , a_2 , a_3) * (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3) + (d_1 , d_2 , d_3) * (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3))

Passo 4

Como a = (a_1 , a_2 , a_3) , d = (d_1 , d_2 , d_3) e (b xx c) = (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3) , temos:

((a_1 , a_2 , a_3) * (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3) + (d_1 , d_2 , d_3) * (alpha_1 , alpha_2 , alpha_3))

(a * (b xx c) + d * (b xx c))

Resposta

(a + d) * (b xx c) = a * (b xx c) + d * (b xx c)

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