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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 20

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = t , 1 2 t 2 , t 2

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo?

Para começarmos a resolver, vamos montar uma estratégia de resolução? Saber quais são os passos?

Bora!

Primeiro temos que encontrar a primeira e a segunda derivada da posição r ( t ) . Em seguida calcular o vetor tangente unitário T ( t ) e a derivada do vetor tangente, e por fim podemos calcular a curvatura com a fórmula 9 .

Vamos começar!!!

Passo 2

  1. Primeiro passo é derivar a função r t = t , 1 2 t 2 , t 2  

Note que derivamos termo a termo, assim:

r ' t = 1 , t , 2 t

Passo 3

O vetor tangente unitário pode ser calculada a partir da equação T t = r ' ( t ) | r ' t | , para isso, temos que calcular separadamente os termos r ' t (já foi calculada no Passo 2 ) e r ' t .

Calculando r ' t

r ' ( t ) = ( 1 ) 2 + t 2 + 4 t 2

Isso nos da que:

r ' ( t ) = 1 + 5 t 2

Passo 4

Agora podemos substituir os termos na equação do vetor tangente.

T t = r ' t r ' t

T t = 1 1 + 5 t 2 1 , t , 2 t

Derivando T t temos que:

T ' t = - 5 t 1 + 5 t 2 3 2 1 , t , 2 t + 1 1 + 5 t 2 0,1 , 2

T ' t = 1 1 + 5 t 2 3 2 - 5 t , - 5 t 2 , - 10 t 2 + 0,1 + 5 t 2 , 2 + 10 t 2

T ' t = 1 1 + 5 t 2 3 / 2 - 5 t , 1,2

Passo 5

Caculando o módulo:

T ' t = 1 1 + 5 t 2 3 2 25 t 2 + 1 + 4

T ' t = 1 1 + 5 t 2 3 2 25 t 2 + 5

T ' t = 5   5 t 2 + 1 1 + 5 t 2 3 2

T ' t = 5 1 + 5 t 2

Passo 6

E então, para calcularmos N ( t ) fazemos:

N t = T ' t T ' t

N t = 1 + 5 t 2 5 ⋅ 1 1 + 5 t 2 3 2 - 5 t , 1,2

N t = 1 5 + 25 t 2 - 5 t , 1,2

Passo 7

b) Agora, utilizado a formula:

k t = T ' t r ' t

k t = 5 1 + 5 t 2 1 + 5 t 2

k t = 5 1 + 5 t 2 3 / 2

Resposta

  1. T t = 1 1 + 5 t 2 1 , t , 2 t e N t = 1 5 + 25 t 2 - 5 t , 1,2
  2. 5 1 + 5 t 2 3 / 2
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