Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura.

x = t^2 , y = t^3

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa?

Vamos entender o que a questão pede e como faremos para resolve-la? Se liga ai!

Vamos calcular a curvatura das funções x = t 2 e y = t 3 . Para isso

  1. Vamos utilizar a fórmula da curvatura dada no exercício 42
  2. κ t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' t x ' t 2 + y 1 t 2 3 2

  3. Encontrar a primeira e a segunda derivada das equações x t e y ( t ) .
  4. Substituir na fórmula e calcular a curvatura.

Agora é só resolver!

Passo 2

Vamos começar calculando as primeiras derivadas:

x ' ( t ) ˙ = 2 t

y ' ( t ) = 3 t 2

E as segundas derivadas:

x ' ' ( t ) = 2

y ' ' ( t ) = 6 t

Passo 3

Substituindo na fórmula da curvatura:

k = 2 t ⋅ 6 t - 3 t 2 ⋅ 2 2 t 2 + 3 t 2 2 3 2

k = 12 t 2 - 6 t 2 4 t 2 + 9 t 4 3 2

k = 6 t 2 4 t 2 + 9 t 4 3 / 2

Resposta

6 t 2 4 t 2 + 9 t 4 3 / 2

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