Determine o comprimento da curva dada.

r t = 2 t , t 2 ⁡ , 1 3 t 3   ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oie, tudo bem?! Vamos dar início a mais uma resolução aqui.

Temos a curva parametrizada:

r t = 2 t , t 2 ⁡ , 1 3 t 3

E queremos encontrar o comprimento da curva entre:

0 ≤ t ≤ 1

Para calcularmos o comprimento de uma curva parametrizada desse tipo r t devemos utilizar da fórmula:

L = ∫ a b r ' t d t

Então precisamos derivar nossa curva, e depois encontrar o seu modulo. Os limites de integração já nos foram dados e é:

0 ≤ t ≤ 1

Passo 2

Então, vamos partir para a derivação da nossa curva, vamos derivar cada termo dela:

r t = 2 t , t 2 ⁡ , 1 3 t 3

r ' t = 2,2 t ,   t 2

Feito esse passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos la!

r ' ( t ) = 2 2 + 2 t 2 + t 2 2 = 4 + 4 t 2 + t 4

Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever 4 + 4 t 2 + t 4 = t 2 + 2 2

Isso nos dá que:

r ' t = 4 + 4 t 2 + t 4

r ' t = t 2 + 2 2

Retirando a raiz:

r ' t = 2 + t 2

Como t 2 ≥ 0 para t real,

r ' t = 2 + t 2

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalor é:

0 ≤ t ≤ 1

E que encontramos

r ' ( t ) = 2 + t 2

Assim,

L ∫ 0 1 2 + t 2 d t

Essa integral sai fácil para a gente:

L = 2 t + 1 3 t 3 0 1

Colocando os limites de integração:

L = 2 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 0 3

L = 7 3

Resposta

7 3

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