Determine o comprimento da curva dada.

r t = t , 3  cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t ,   - 5 ≤ t ≤ 5

ATENÇÃO: O enunciado do livro é t , cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t , mas com esse r ( t ) se chega numa integral que não é possível de ser feita analiticamente.

Passo 1

Oie, tudo bem meu amigo?

Vou te ajudar a resolver essa atividade. Nela nos é pedido para encontrarmos o comprimento da curva:

r t = t , 3  cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t ,   - 5 ≤ t ≤ 5

Para isso a gente utilizar de uma formula:

L = ∫ - a a r ' t ⋅ d t

Então precisaremos encontrar a derivada do vetor, e deveremos também encontrar o modulo da derivada desse vetor.

Mas se liga só numa coisa! O enunciado dessa questão está errado. Isso por que com o r ( t ) dado pelo enunciado chegaríamos em uma integral que não pode ser feita analiticamente kkkkk. Eu mostro o problema quando chegarmos lá, beleza?

Passo 2

Então a partir daqui vamos assumir que a função é r t = t , 3  cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t , show?

Temos que r t = t , 3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função. Para isso basta que a gente derive cada coordenada normalmente.

Então, temos que:

r ' t = 1 , - 3  sen t ⁡ ,   3 cos ⁡ t ,

Passo 3

Feito essa passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos la!

r ' t = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo os valores das coordenadas:

r ' ( t ) = 1 2 + - 3   s e n   t 2 + 3 cos ⁡ t   2

Isso nos da que:

r ' ( t ) = 1 + 9 sin 2 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 1 + 9 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Então:

r ' t = 1 + 9 ⋅ 1

r ' t = 10

Passo 4

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalor é:

- 5 ≤ t ≤ 5

E que encontramos

r ' ( t ) = 10

Assim,

∫ - 5 5 10 d t = 10 t - 5 5

Colocando o intervalo:

∫ - 5 5 10 d t = 10 ⋅ 5 - 10 ⋅ - 5 = 10 10

E fechamos o exercício o/

Passo 5

Agora vamos explicar o problema do enunciado errado.

Se r ( t ) fosse t , cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t , teríamos

r t = 1 + sen 2 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t

r t = 2 + 8 cos 2 ⁡ t

Aí a integral seria

∫ - 5 5 2 + 8 cos 2 ⁡ t d t

O que não tem solução analítica!!! Só daria pra fazer por métodos numéricos.

Resposta

10 10

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