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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 47

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela parábola y = x 2 , abaixo pelo eixo x e à direita pela reta x = 2 .

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo y . Aprendemos nesta seção que, para este caso, que corresponde ao método do anel, temos que calcular a seguinte integral:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 - r y 2 d y

Em que c e d são os limites de integração as funções R ( y ) e r ( y ) correspondem aos raios externo e interno, respectivamente. Portanto, a maior dificuldade desta questão é definir corretamente quem são essas funções R ( y ) e r ( y ) . Para isto, vamos esboçar a região para melhorar a visualização.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Vamos começar determinando a curva R ( y ) . Como ela passa pelos pontos C = ( 2,0 ) e B = ( 2,4 ) , o coeficiente angular desta reta é:

m R = Δ x Δ y = 2 - 2 4 - 0 = 0

Portanto a reta x = R ( y ) é dada por:

x - x 0 = m R y - y 0

x - 2 = 0 y - 0

x = R y = 2

Já para a curva r ( y ) , a qual está relacionada a nossa parábola, basta isolar a incógnita x na equação. Desta forma, temos:

y = x 2

x = ± y

Como queremos analisar o semieixo x positivo, a nossa função é dada por r y = y .

Passo 4

Finalmente estamos quase acabando. O pior já passou! Para que possamos substituir quem é R ( y ) e r ( y ) lá na equação do Passo 1 que define o volume do nosso sólido, nós só precisamos determinar mais um detalhe: quem são os limites de integração?

Fica claro quando analisamos o esboço feito no Passo 2. Basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 4, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 4 π 2 2 - y 2 d y

V = ∫ 0 4 π 4 - y d y

V = π 4 y - y 2 2 0 4 = π 16 - 8

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno do eixo x
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta A C
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x .
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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno do eixo y