Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela parábola y = x 2 , abaixo pelo eixo x e à direita pela reta x = 2 .

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 47

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela parábola , abaixo pelo eixo e à direita pela reta .

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo . Aprendemos nesta seção que, para este caso, que corresponde ao método do anel, temos que calcular a seguinte integral:

Em que e são os limites de integração as funções e correspondem aos raios externo e interno, respectivamente. Portanto, a maior dificuldade desta questão é definir corretamente quem são essas funções e . Para isto, vamos esboçar a região para melhorar a visualização.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Vamos começar determinando a curva . Como ela passa pelos pontos e , o coeficiente angular desta reta é:

Portanto a reta é dada por:

Já para a curva , a qual está relacionada a nossa parábola, basta isolar a incógnita na equação. Desta forma, temos:

Como queremos analisar o semieixo positivo, a nossa função é dada por .

Passo 4

Finalmente estamos quase acabando. O pior já passou! Para que possamos substituir quem é e lá na equação do Passo 1 que define o volume do nosso sólido, nós só precisamos determinar mais um detalhe: quem são os limites de integração?

Fica claro quando analisamos o esboço feito no Passo 2. Basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de na nossa região? Eles são 0 e 4, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

Resposta

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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta A C