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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 2

(Teorema de Papus para a elipse). Considere o conjunto A de todos os pontos (x, y) tais que

x -   α 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1 ( a > 0   e   b > 0 )

E situado no semiplano y   ≥   0 .   Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A é igual ao produto da área da elipse pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo centro ( α ,   β ) desta elipse.

Passo 1

Calma! Relaxa! Esse monte de letra tem algum significado e eu vou te mostrar.

Primeiro temos que entender o gráfico com equação:

x 2 + y 2 = 1

Essa equação representa a circunferência de raio 1 centrada na origem.

Quando deslocamos o centro da circunferência para um ponto ( α ,   β ) , ficamos com:

x - α 2 + y - β 2 = 1

Até aí tranquilinho? Show!

E, no caso da elipse, como ela não tem os tamanhos iguais, ficamos com:

x - α 2 a 2 + y - β 2 b 2 = 1

Ficamos com esse gráfico:

Gráfico genérico de: x - α 2 a 2 + y - β 2 b 2 = 1

Ok! Agora entendemos que essa relação é de uma elipse, e que a e b devem ser valores positivos.

Mas por que esse valor “ ≤ ”?

Por que ele pede pra considerarmos apenas o conjunto A de pontos (x, y), ou seja, pontos que obedeçam a essa regra. Resumindo: ele quer a área que está dentro da linha que descreve a elipse.

Mas ele pede que   y ≥ 0 . Então ele quer que a gente use a área entre a curva que descreve a elipse acima do eixo x e o próprio eixo x. Ou seja, isso aqui:

Ótimo! Entendemos o que quer dizer esse monte de letra e essa relação, mas afinal de contas o que o exercício pede?

O exercício nos pede para comparar duas coisas:

1 – O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A;

2 – O produto da área da elipse pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo centro ( α ,   β ) desta elipse.

Sendo assim, conhecemos métodos para realizar essas duas operações e em seguida comparamos os resultados para ver se batem.

Passo 2

Pelo teorema de Pappus-Guldin sabemos que para volumes usamos:

V = 2 π × r × A

Sendo a 2 π r a circunferência em relação ao eixo x e A é a área da elipse.

A área da elipse é descrita por:

A e l i p s e = a × b × π

Logo a Área da semi-elipse é metade disso.

E a distância entre o centro da semi-elipse acima do eixo x e o próprio eixo x é dada sempre como na circunferência.

Imagine que nós tenhamos apenas um semicírculo acima do eixo x   e rotacionamos essa figura em relação ao eixo x,

Vamos ter o volume da esfera que é:

4 3 π r 3

Passo 3

Então, se compararmos com o teorema de pappus-Guldin, teremos:

V = 2 π × r × A

E sabemos que que a área vale 2 π r 2 então ficamos com

V = 2 π × r × 2 π r 2 = 4 3 π r 3

Sendo o r do teorema de Pappus-Guldin o centroide da figura, se colocarmos o centroide em evidencia (lembrando que a área da semicircunferência é A = π r 2 2 ) , teremos:

2 π × r × A = 2 π × y × π r 2 2 = 4 3 π r 3

Então temos que

y = 4 r 3 π

Assim ficamos com:

V = 2 π × 4 b 3 π × a × b × π 2 = 4 × b × a × b × π 3

Passo 4

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A usamos a fórmula:

∫ a b π f x 2 d x

Para usar esse método precisamos de f x e dos limites de integração.

A função depende de x, logo vamos isolar y :

x -   α 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1 → b 2 x -   α 2 + a 2 y - β 2 a 2 b 2 ≤ 1  

Passando a 2 b 2 para o outro lado, ficamos com:

b 2 x -   α 2 + a 2 y - β 2 ≤ a 2 b 2

Agora vamos deixar apenas o termo que tem y do lado esquerdo,

a 2 y - β 2 ≤ a 2 b 2 - b 2 x -   α 2

y - β 2 ≤ a 2 b 2 - b 2 x -   α 2 a 2

  y ≤ a 2 b 2 - b 2 x -   α 2 a 2 + β

Ajeitando isso ai ficamos com:

y ≤ b a a 2 - x -   α 2 + β

Ok então temos que:

f x =   y = b a a 2 - x -   α 2 + β

Como a elipse está com centro no eixo x, temos, β = 0

f x =   y = b a a 2 - x -   α 2

Passo 5

Pelo gráfico podemos ver que x varia de α - a até α + a , então o intervalo vai ser:

α - a ≤ x ≤ α + a

V = ∫ α - a α + a π b a a 2 - x -   α 2 2 d x   =

= π ∫ α - a α + a b 2 a 2 a 2 - x - α 2 d x

Tirando as constantes para ficar menos complicadinho, vamos ter:

π b 2 a 2 ∫ α - a α + a a 2 - x - α 2 d x

Agora vamos separar em duas integrais

π b 2 a 2 ∫ α - a α + a a 2 d x - π b 2 a 2 ∫ α - a α + a x - α 2 d x

Vamos fazer uma substituição simples e chamar x - a de u , nisso nossos limites de integração mudam, quando x = α - a → u = - a e quando x = α + a → u = a

π b 2 α + a - α + a - π b 2 a 2 ∫ - a a u 2 d u

Agora resolvendo esse monstrinho ai ficamos com

2 π a b 2 - π b 2 a 2 u 3 3 a - a = 2 π a b 2 - π b 2 a 2 a 3 3 + a 3 3

Dando um jeitinho, ficamos com

2 π a b 2 - 2 π b 2 a 2 × a 3 3  

= 2 π a b 2 - 2 π b 2 × a 3 = 6 π a b 2 - 2 π a b 2 3 = 4 π a b 2 3

Ufa! Assim comparando os valores encontramos que o volume pode ser representado dessas duas maneiras

Por pappus-Guldin ou por sólido rotacional.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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