82. Se underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x^2) = 1 , determine

a. underset(x -> 0)(lim) f ( x )

Passo 1

a.

Nós não podemos usar a regra do quociente nesse caso, pois obteríamos uma divisão por zero. Então vamos ter que dar outro jeito.

O que ta atrapalhando a gente é aquele ( x^2 ) no denominador, então vamos dar um jeito de sumir com ele.

Conseguimos fazer isso, se multiplicarmos os dois lados da equação por underset(x -> 0)(lim) (x^2) , se liga como vai ficar:

(underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x^2)) (underset(x -> 0)(lim) x^2) = 1 (underset(x -> 0)(lim) x^2)

Pela regra do produto a gente pode escrever que:

underset(x -> 2)(lim) [((f (x))/(x^2)) (x^2)] = (underset(x -> 0)(lim) x^2)

Agora podemos cortar aquele ( x^2 ) que tava atrapalhando a gente:

underset(x -> 0)(lim) f (x) = underset(x -> 0)(lim) x^2

Agora resolver o que sobrou fica fácil, só resolver aquele limite do lado direito, substituindo o valor:

underset(x -> 0)(lim) f (x) = 0^2

underset(x -> 0)(lim) f (x) = 0

Passo 2

Vamos usar a mesma ideia que usamo na letra a. a diferença é que agora a gente quer o limite de f ( x ) // x , então só podemos sumir com um dos x’s que estão dividindo, por isso vamos multiplicar, os dois lados, por underset(x -> 0)(lim) (x)

(underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x^2)) (underset(x -> 0)(lim) x) = 1 (underset(x -> 0)(lim) x)

Como antes, pela regra do produto, podemos escrever que:

underset(x -> 0)(lim) (((f (x))/(x^2)) ( x )) = underset(x -> 0)(lim) x

Vamos cortar o x , em cima e em baixo:

underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) x

E só sobrou aquele limite da direita pra resolver, para resolvê-lo é só substituir:

underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 0

Resposta

a. underset(x -> 0)(lim) f (x) = 0

b. underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 0

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