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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 36

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = 2 y y 2 + 1

x = 0

y = 1

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = 2 y y 2 + 1

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por y = 1 .

Como temos que fazer uma integral definida para o volume, precisamos ver qual o outro ponto que essa curva corta o eixo y , que é x = 0 . Porque é o que limita a região:

2 y y 2 + 1 = 0

2 y = 0

y = 0

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = 0 , como vimos ali em cima, até y = 1 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = 2 y y 2 + 1

O volume vai ser:

V = ∫ 0 1 π 2 y y 2 + 1 2 d y

Como temos y de 0 até 1 no intervalo da integral, aquela raiz ao quadrado pode cortar com o quadrado sem precisar colocar o módulo depois. Isso porque 2 y é positivo nesse intervalo de integração:

2 y 2 = 2 y

V = ∫ 0 1 2 π y y 2 + 1 2 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 1 2 π y y 2 + 1 2 d y

V = 2 π ∫ 0 1 y y 2 + 1 2 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y y 2 + 1 2 d y

Pra resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

y 2 + 1 = a → 2 y d y = d a → y d y = d a 2

A nossa integral vai ficar:

∫ y y 2 + 1 2 d y = ∫ 1 a 2 d a 2

Resolvendo a integral em a

∫ 1 2 a 2 d a = 1 2 ∫ a - 2 d a = 1 2 a - 1 - 1 + C = - 1 2 a - 1 + C

Voltando para y :

= - 1 2 a - 1 + C = - 1 2 y 2 + 1 - 1 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = 2 π ∫ 0 1 y y 2 + 1 2 d y = 2 π - 1 2 y 2 + 1 - 1 0 1 =

2 π - 1 2 1 2 + 1 - 1 - 2 π - 1 2 0 2 + 1 - 1 =

2 π - 1 2 2 - 1 - 2 π - 1 2 1 - 1 =

2 π - 1 2 1 2 - 2 π - 1 2 =

- π 2 - - π =

- π 2 + π

π 2

Resposta

π 2

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = 1 em torno Da reta y = 1 .Da reta y = 2 .Da reta y = - 1 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = 1 em torno Da reta y = 1 .Da reta y = 2 .Da reta y = - 1 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno Da reta x = 1 .Da reta x = 2 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /