Volume de um toro. O disco gira em torno da reta para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: , uma vez que é a área de um semicírculo de raio a).

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas. Para valores quaisquer de e , desde que , temos a seguinte região.

Em destaque temos a região limitada pelo disco e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta , utilizaremos o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

Em que e são funções que definem os raios externos e internos dos anéis transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem são as nossas funções! é o lado esquerdo do disco, em que , e o lado em que . Portanto, as suas funções são:

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

As funções e que obtivemos estão escritas em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo e eixo . Precisamos escrever estas curvas em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo corresponde à reta transladada para à esquerda em b unidades, as nossas funções devem ser transladadas para à esquerda em b unidades também! Portanto, temos:

Vamos pegar o valor absoluto da função, só para fins de sentido, pois como determina um raio, ele deve ser maior que 0. Portanto,

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de na nossa região? Eles são e , respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

Utilizando a sugestão da questão, sabemos que . Portanto, o volume do toro é: