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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 23

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = cos ⁡ x

y = 0

x = 0

0 ≤ x ≤ π 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = cos ⁡ x

Essa curva é algo beeem estranho, mas vamos ver quando ela cruza o eixo x , ou seja, y = 0 que é a interseção que ele pediu, depois é so fazer o esboço.

cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 0

Lembrando que ele limitou o intervalo em 0 ≤ x ≤ π 2 . Vamos ter:

x = π 2

Mas rapaz, como fica isso se so achamos um valor? Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a azul, limitada inicialmente oela laranja. O que acontece é que ela começa na laranja e vai até aquele valo que achamos.

Entao a região vai de x = 0 até x = π 3 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = cos ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 2 π cos ⁡ x 2 d x

Como a expressão da curva é a parte positiva, acima do eixo x , vamos ter:

cos ⁡ x 2 = cos ⁡ x

V = ∫ 0 π 2 π cos ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 2 π cos ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x = π sen ⁡ x 0 π 2 =

π sen ⁡ π 2 - π sen ⁡ 0 =

π

Resposta

π

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y = x 2 x 2 + 4
y = 2 x - 3
17. Deduza a fórmula para o volume de uma esfera, rotacionando a região limitada pela circunferência x 2 + y 2 = r 2 e pelo eixo x em torno do eixo x .
26. Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 24 girar em torno da reta y = 1 .
27. A região limitada pela curva y = c o t gx , pela reta x = π 6 , e pelo eixo x é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.