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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 18

Diagonais Se x, y e z são os comprimentos dos lados de uma caixa retangular, o comprimento comum das diagonais da caixa é s = x 2 + y 2 + z 2 .

a. Considerando que x, y e z sejam funções deriváveis de t, como d s d t está relacionada a d x d t , d y d t e d z d t ?

b. Como d s d t está relacionada a d y d t e d z d t se x é constante?

c. Como d x d t , d y d t e d z d t estão relacionadas se s é constante?

Passo 1

Letra a)

Como não temos nenhuma constante, basta derivamos a função s em relação ao tempo. Separando cada variável.

d d t s = d d t ( x 2 + y 2 + z 2 )

Chamando x 2 + y 2 + z 2 de f(x) temos:

d d t s = d d t f x    

d d t s = 1 2 1 f x   .   f ' x . x '

Regra da cadeia se traduz como: Derivada da parte de fora vezes a derivada da parte de dentro.

Fazendo a regra da cadeia temos:

d d t s = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 × 2 x d x d t + 2 y d y d t + 2 z d z d t  

Não se esquecer que:

f x n ' = n f x . f ( x ) '

Isolando cada termo e cortando o número 2 temos:

d s d t = x x 2 + y 2 + z 2 d x d t + y x 2 + y 2 + z 2 d y d t + z x 2 + y 2 + z 2 d z d t  

Passo 2

Letra b)

Agora temos que x é constante, então copiando o raciocínio que tivemos na letra anterior temos que a parcela da derivada da parte de dentro no termo x será zero. Repare.

d d t s = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 × d d t x 2 + d d t y 2 + d d t z 2

Como x é constante logo ela não varia no tempo.

Fazendo as derivadas e arrumando da forma como foi feita na letra a temos:

d s d t = y x 2 + y 2 + z 2 d y d t + z x 2 + y 2 + z 2 d z d t  

Passo 3

Letra c)

Agora d s d t = 0 , parece desafiador mas olha bem para a primeira equação de todas:

d s d t = d d t   ( x 2 + y 2 + z 2 )

Só substituir e sair pro abraço:

0 = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2   2 x d x d t + 2 y d y d t + 2 z d z d t

Como estamos igualando a zero podemos cortar o denominador e as constantes ficando com:

x d x d t + y d y d t + z d z d t = 0

Resposta

  1. d s d t = x x 2 + y 2 + z 2 d x d t + y x 2 + y 2 + z 2 d y d t + z x 2 + y 2 + z 2 d z d t
  2. d s d t = y x 2 + y 2 + z 2 d y d t + z x 2 + y 2 + z 2 d z d t
  3. x d x d t + y d y d t + z d z d t = 0
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