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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 33

Balão e bicicleta Um balão sobe verticalmente acima de uma estrada plana a uma velocidade constante de 1 pé/s. Quando está 65 pés acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 17 pés/s passa sob ele. A que taxa a distância s(t) entre a bicicleta e o balão aumentará 3 segundos mais tarde?

Passo 1

Dados Iniciais:

y = 65   f t   ; d y d t = 1 p é s

x = 0 ; d x d t = 17 p é s s

Pede-se a variação s após 3 segundos

Passo 2

Como o ciclista e o balão estão em movimento retilíneo uniforme em três segundos os dois estarão a:

x c i c l i s t a = x 0 + v t = 0 + 17 p é s s × 3   [ s ] = 51   p é s

y b a l a o = y 0 + v t = 65 + 1 p é s s ×   3 s = 68   p é s

Logo a distância entre o ciclista e o balão é de:

s = 51 2 + 68 2 = 85   p é s

Passo 3

Agora podemos analisar a dinâmica do nosso sistema, que obedece a lei de Pitágoras:

s 2 = x 2 + y 2

Derivando a última equação no tempo teremos:

2 s d s d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Cortando o número 2, que é comum a todos os fatores e substituindo os fatores encontrados teremos:

85 p é s d s d t = 51 p é s × 17   f t s + 68 p é s × 1 p é s s

O que nos dá uma variação de distância entre os dois de:

Resposta

d s d t = 11   p é s s

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