Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 16
16. Um homem com 1,80 m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um ponto de luz no chão a 15 m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9 m do edifício?
Passo 1
Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:
- Leia cuidadosamente o problema.
- Se possível, faça um diagrama.
- Identificar as variáveis e as constantes do problema.
- Escreva uma equação que relacione as variáveis.
- Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
- Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.
Imagine a situação e faça um diagrama:
Variáveis:
x-Distância do homem ao edifício.
y- Tamanho da sombra.
t- tempo
Passo 2
Como queremos a velocidade em que a sombra está diminuindo, queremos a taxa de variação de y (falou em velocidade e taxa de variação lembre-se de derivadas), e para isso precisamos encontrar uma expressão que relacione y. Então, por semelhança de triângulos (observe a figura), temos:
Passo 3
Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de velocidade). Usando a regra do produto, temos:
Passo 4
Antes de substituir os valores, precisamos saber o valor de y quando . Para isso basta voltarmos à equação e substituir o valor de x. Assim, para , temos:
Passo 5
Como x está se referindo à posição, será a velocidade, que é de . Assim, , ou .E como queremos a velocidade da sombra quando o homem estiver a 9 m do edifício
Substituindo na equação:
Temos:
Logo, a velocidade de crescimento da sombra é de .