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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 21

Distância ao longo de uma reta Mostre que, se u é um vetor unitário, então o parâmetro de comprimento de arco ao longo da reta r(t) = P 0 + tu a partir do ponto P 0 ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , em que t = 0, é o próprio t.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos demonstrar usando a maneira que aprendemos nesse capítulo, primeiro deve se derivar r, depois acha o modulo e por último calcula o comprimento, vamos lá.

r t = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) + t u

r t = x 0 + t u 1 i + y 0 + t u 2 j + z 0 + t u 3 k

Passo 2

v = d r d t = d d t x 0 + t u 1 i + y 0 + t u 2 j + z 0 + t u 3 k

v = u 1 i + u 2 j + u 3 k

Não precisamos achar o módulo então, por que o modulo é o próprio vetor unitário

v = | u |

Passo 3

Bora integrar para encontrar o comprimento

s t = ∫ 0 t | v | d t

s t = ∫ 0 t | u | d t

s t = ∫ 0 t 1 d t

s t = t

Está demonstrado que o comprimento é o próprio t.

Bora pro último.

Resposta

Demonstração.

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