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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 15

Comprimento de arco Encontre o comprimento da curva

r t = 2 t i + 2 t j + ( 1 - t 2 ) k

De (0, 0, 1) a ( 2 ,   2 ,   0 ) .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para encontrar o comprimento da curva, precisamos primeiro encontrar o parâmetro, e para isso vamos derivar a função r em t, e depois encontrar o módulo desse vetor.

v t = d r d t

d d t 2 t i + 2 t j + ( 1 - t 2 ) k

= 2 i + 2 j - 2 t k

Passo 2

Como encontrar o módulo do vetor? Só tirar a raiz da soma de todas as componentes ao quadrado.

v = 2 2 + 2 2 + - 2 t 2

v = 4 + 4 t 2

v = 2 1 + t 2

Passo 3

E agora vamos finalizar achando o comprimento usando a fórmula que aprendemos no capítulo

L = ∫ 0 1 2 1 + t 2 d t

L = 2 t 2 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ t + 1 + t 2 0 1

L = 2 + ln ⁡ 1 + 2

Bora pro próximo!

Resposta

L = 2 + ln ⁡ 1 + 2 .

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