Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 103

Duas substâncias químicas A e B reagem para formar a substância C e taxa de variação da quantidade é proporcional ao produto das quantidades de A e B restantes em cada instante dado. Inicialmente, existem de A e de B. Para formar de C são necessários de A e de B. Após , foram formados de C.

(a) Se de C são formados após , ache uma expressão para em termos de .

(b) Ache a quantidade após .

Passo 1

A questão fornece uma reação química do tipo e diz que a taxa de variação da quantidade é proporcional ao produto das quantidades e restantes. Assim, como denota a quantidade de , temos que

onde é uma constante de proporcionalidade e e são as quantidades restantes das substâncias A e B, respectivamente. O que falta é relacionar e com .

O enunciado disse que para de C, são consumidos de A e de B. Assim, se forem produzidos de C, são oriundos de A e de B. Desta forma, como tínhamos inicialmente de A e de B, as quantidades restantes serão

Portanto,

Logo,

Como é uma constante que será determinada posteriormente, podemos trocá-la por e a equação é reescrita como

Essa equação diferencial é separável, de modo que

Passo 2

Para resolver essa equação, basta integrar dos dois lados

A integral da direita é calculada por frações parciais:

Assim,

Resolvendo esse sistema, tiramos que :

Portanto,

Assim,

Repare que os sinais foram invertidos na integração: isso ocorreu pois os argumentos dos logaritmos são do tipo e não , então pela regra da cadeia aparece esse sinal de que inverte tudo!