Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 103
Duas substâncias químicas A e B reagem para formar a substância C e taxa de variação da quantidade é proporcional ao produto das quantidades de A e B restantes em cada instante dado. Inicialmente, existem de A e de B. Para formar de C são necessários de A e de B. Após , foram formados de C.
(a) Se de C são formados após , ache uma expressão para em termos de .
(b) Ache a quantidade após .
Passo 1
A questão fornece uma reação química do tipo e diz que a taxa de variação da quantidade é proporcional ao produto das quantidades e restantes. Assim, como denota a quantidade de , temos que
onde é uma constante de proporcionalidade e e são as quantidades restantes das substâncias A e B, respectivamente. O que falta é relacionar e com .
O enunciado disse que para de C, são consumidos de A e de B. Assim, se forem produzidos de C, são oriundos de A e de B. Desta forma, como tínhamos inicialmente de A e de B, as quantidades restantes serão
Portanto,
Logo,
Como é uma constante que será determinada posteriormente, podemos trocá-la por e a equação é reescrita como
Essa equação diferencial é separável, de modo que
Passo 2
Para resolver essa equação, basta integrar dos dois lados
A integral da direita é calculada por frações parciais:
Assim,
Resolvendo esse sistema, tiramos que :
Portanto,
Assim,
Repare que os sinais foram invertidos na integração: isso ocorreu pois os argumentos dos logaritmos são do tipo e não , então pela regra da cadeia aparece esse sinal de que inverte tudo!
Desta forma,
Portanto,
Tomando a exponencial dos dois lados:
Definindo temos que
Passo 3
Agora precisamos achar as constantes e . Inicialmente não temos nada da substância C, isto é, em , :
Além disso, em , temos :
Portanto,
Aplicando dos dois lados:
Assim,
Assim,
Chamei para simplificar um pouco as contas. Multiplicando em cruz:
Portanto, a expressão para a quantidade de produto C em função do tempo é
Assim,
Passo 4
Para o item (b), basta fazer :
Portanto, com ajuda de uma calculadora: