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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 98

Ache a área da região limitada pela curva y = a r c s e n   2 x , pela reta x = 1 4 3 e pelo eixo x .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a área da região delimitada pelas curvas y = a r c s e n   2 x , x = 1 4 3 e o eixo x ( y = 0 ). Como é difícil trabalhar com a função arco seno, a dica aqui é inverter a primeira curva:

y = a r c s e n   2 x ⇒ 2 x = s e n   y ⇒ x = 1 2 s e n   y

Plotando essas curvas em um gráfico, temos que

O ponto de interseção é encontrado fazendo

1 2 s e n   y = 1 4 3 ⇒ s e n   y = 3 2 ⇒ y = π 3

Fazendo a integração na direção x , teríamos:

A = ∫ 0 1 4 3 a r c s e n   2 x   d x

Essa é uma integral chata e pouco usual, então vamos ver o que acontece se escrevermos a integral na direção y :

A = ∫ 0 π / 3 1 4 3 - 1 2 s e n   y   d y

Note que fixando a variável de integração, a região de interesse vai da curva x = 1 2   s e n   y até a reta x = 1 4 3 , por isso a integral tem essa cara. Além disso, a função seno é bem fácil de ser integrada!

Passo 2

Efetuando a integral, temos que

A = 3 4 y + 1 2 cos ⁡ y 0 π / 3 = 3 4 π 3 - 0 + 1 2 cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 0

Assim,

A = π 3 12 + 1 2 1 2 - 1

Portanto, a área será

A = π 3 12 - 1 4

Resposta

π 3 12 - 1 4

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