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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 21

Encontre a integral indefinida geral.

∫ ln ⁡ x 2 x d x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ ln ⁡ x 2 x d x

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = ln ⁡ x 2 x

Podemos chamar ln ⁡ x de u .

u = ln ⁡ x

Derivando e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 1 x → d x = x d u

Com isso, substituindo d x e u na integral...

∫ ln ⁡ x 2 x d x → ∫ u 2 x x d u

Simplificando x ...

∫ u 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Viu só? A gente transformou aquela integral complicada em uma integral muito simples... vamos aplicar a regra da potência:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 + C

∫ u 2 d u = u 3 3 + C

Por fim, voltamos de u para x ... então aplicamos a substituição de volta.

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ln ⁡ x 3 3 + C

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ln ⁡ x 3 3 + C

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