Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 49

Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será x^2 + 4 , sendo chamado de u. Assim:

u = x^2 + 4 Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

x^2 = u - 4 (1) 2 x d x = d u x d x = (d u)/(2) (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão x d x , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o x ³ em x ² . x

int (x^3)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x = int (x^2 x)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

(int u^(- (3)/(2)) x ² d u)/(2)

O termo x ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

(int u^(- (3)/(2)) ( u - 4 ) d u)/(2)

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

(int u^(- (3)/(2)) (u - 4) d u)/(2) int ( u^(- (1)/(2)) - 4 u^(- (3)/(2)) ) d u // 2 (1)/(2) [(u^((1)/(2)))/((1)/(2)) - (4 u^(- (1)/(2)))/((- (1)/(2)))] (1)/(2) [2 u^((1)/(2)) - 4 (- 2) u^(- (1)/(2))] (1)/(2) [2 u^((1)/(2)) + 8 u^(- (1)/(2))] (1)/(2) [2 (x^2 + 4)^((1)/(2)) + 8 (x^2 + 4)^(- (1)/(2))] + C

Resposta

O resultado final é:

int (x^3)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x = (1)/(2) [2 (x^2 + 4)^((1)/(2)) + 8 (x^2 + 4)^(- (1)/(2))] + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Complete o quadrado, faça uma substituição u adequada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem completar qu
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c