Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 14a
Um empréstimo de $ 1000 deve ser pago em um único pagamento, ao final de um ano. Se a taxa de juros for 8% compostos continuamente, determine:
a)A quantia total a ser paga.
Passo 1
Quando aplicamos a um valor uma taxa de juros compostos continuamente, e é o valor monetário do investimento em anos, podemos dizer que a taxa de aumento do valor é proporcional ao próprio valor de , e a constante de proporcionalidade é , ou seja:
Temos que resolver então essa equação diferencial, para e . Para então achar .
Passo 2
Temos então:
Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Sendo uma constante. Transformamos então a equação usando a relação :
Sendo uma constante. Para completar nossa equação, precisamos achar o valor de . De , temos:
Passo 3
Calculamos o valor para 1 ano, :
O valor a ser pago é então $ 1.083,29.