Um empréstimo de $ 1000 deve ser pago em um único pagamento, ao final de um ano. Se a taxa de juros for 8% compostos continuamente, determine:

a)A quantia total a ser paga.

Passo 1

Quando aplicamos a um valor P uma taxa i de juros compostos continuamente, e A é o valor monetário do investimento em t anos, podemos dizer que a taxa de aumento do valor A é proporcional ao próprio valor de A , e a constante de proporcionalidade é i , ou seja:

d A d t = i A

Temos que resolver então essa equação diferencial, para i = 0,08 e P = A 0 = 1000 . Para então achar A ( 1 ) .

Passo 2

Temos então:

d A d t = 0,08 A

Separando as variáveis, temos:

d A A = 0,08 d t

Integrando os dois lados:

∫ d A A = ∫ 0,08 d t ⇒ ln ⁡ | A | = 0,1 t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

A = e 0,08 t + C ⇒ A = B e 0,08 t

Sendo B = ± e C uma constante. Para completar nossa equação, precisamos achar o valor de B . De A 0 = P = 500 , temos:

B e 0 = 1000 ⇒ B = 1000 ⇒ A t = 1000 e 0,08 t

Passo 3

Calculamos o valor para 1 ano, A 1 :

A 1 = 1000 e 0,08 = 1083,29

O valor a ser pago é então $ 1.083,29.

Resposta

$   1.083,29 .

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