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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 59

Encontrar a área interior ao círculo de raio 4 e exterior a cardioide r = 4 ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 1

A área pedida está na figura:

Vemos que o intervalo de θ então é - π 2 , π 2 , e como é simétrico a gente pode fazer 2 vezes o intervalo de 0 , π 2 .

Passo 2

A gente usa a fórmula:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 d θ  

Trazendo pro nosso caso, temos:

A = 2 ∙ 1 2 ∫ 0 π 2 [ 16 - 16 1 - cos ⁡ θ 2   d θ

= ∫ 0 π 2 16 - 16 + 32 cos ⁡ θ - 16 cos 2 ⁡ θ   d θ

= 32 s e n   θ - 16 θ 2 + s e n   2 θ 4 0 π / 2

= 32 - 16 ∙ π 4

= 32 - 4 π   u .   a

Prontinho! Essa é a área pedida😉

Resposta

32 - 4 π   u .   a

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