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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 61

Encontrar a área da região delimitada pelo laço interno da limaçon r = 1 + 2 s e n   θ .

Passo 1

(Não desespere com esse nome aí haha...)

A área pedida está na figura:

Passo 2

A gente usa a fórmula:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 d θ  

O intervalo dessa área vai de 7 π 6 , 3 π 2 . Então bora lá...

A = 1 2 ∫ 7 π 6 3 π 2 1 + 2 s e n   θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 7 π 6 3 π 2 1 + 4 s e n   θ + 4   s e n 2 θ   d θ

= 1 2 θ - 4 cos ⁡ θ + 4 θ 2 - s e n   2 θ 7 π 6 3 π 2

= π - 3 3 2 u . a

Prontinho! Essa é a área que pediram😉

Resposta

π - 3 3 2 u . a

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