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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 4f

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 )

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Depois disso, vamos encontrar o rotacional do campo, que é calculado por:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Como o r o t   f → precisa de 3 parâmetros, nossa função, na verdade, tem que ser:

f → x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   0

Esse terceiro valor entra como 0 para que o que está no eixo z no campo não seja relevante, como não era antes!

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   0

Então,

f 1 = - y x 2 + y 2

f 2 = x x 2 + y 2

f 3 = 0

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

A primeira:

∂ f 1 ∂ x = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ x = - - x y x 2 + y 2 3 = x y x 2 + y 2 3

∂ f 2 ∂ y = ∂ x x 2 + y 2 ∂ y = - y x x 2 + y 2 3 = - x y x 2 + y 2 3

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( 0 ) ∂ z = 0

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = x y x 2 + y 2 3 - x y x 2 + y 2 3

d i v   f → = 0

Passo 3

Beleza, achamos a divergência, agora vamos pro rotacional.

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Bom, então vamos ter que calcular mais umas derivadas que faltaram! Vamos lá, na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ 0 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ z = ∂ x x 2 + y 2 ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( 0 ) ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x = y 2 x 2 + y 2 3

∂ f 1 ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y = - x 2 x 2 + y 2 3

Agora é só substituir!

r o t   f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + y 2 x 2 + y 2 3 - - x 2 x 2 + y 2 3 k →

r o t   f → = 0   i → + 0   j → + x 2 + y 2 x 2 + y 2 3 k →

Arrumando,

r o t   f → = 0   i → + 0   j → + 1 x 2 + y 2 k →

Acabamos!

Resposta

d i v   f → = 0

r o t   f → = 0   i → + 0   j → + 1 x 2 + y 2 k →

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