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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 4b

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y = x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Depois disso, vamos encontrar o rotacional do campo, que é calculado por:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Como o r o t   f → precisa de 3 parâmetros, nossa função, na verdade, tem que ser:

f → x ,   y ,   z = x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2 ,   0

Esse terceiro valor entra como 0 para que o que está no eixo z no campo não seja relevante, como não era antes!

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2 ,   0

Então,

f 1 = x 2 + y 2

f 2 = x 2 - y 2

f 3 = 0

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ x = 2 x

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( x 2 - y 2 ) ∂ y = - 2 y

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( 0 ) ∂ z = 0

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 2 x - 2 y

Passo 3

Beleza, achamos a divergência, agora vamos pro rotacional.

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Bom, então vamos ter que calcular mais umas derivadas que faltaram! Vamos lá, na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ 0 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ z = ∂ x 2 - y 2 ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( 0 ) ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( x 2 - y 2 ) ∂ x = 2 x

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( x 2 + y 2 ) ∂ y = 2 y

Agora é só substituir!

r o t   f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 2 x - 2 y k →

r o t   f → = 2 x - 2 y k →

Acabamos!

Resposta

d i v   f → = 2 x - 2 y

r o t   f → = 2 x - 2 y k →

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