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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7f

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

(grad xx vec f) xx vec g

Passo 1

A questão nos pede pra calcular (grad xx vec f) xx vec g . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo, e depois fazemos o produto vetorial com o campo vec g ! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec f xx vec g , ou seja, do produto vetorial entre vec f e vec g . Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo. Além disso, sabemos também calcular esse produto vetorial.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec f (x , y , z) = (f_1 , f_2 , f_3)

E o campo vec g :

vec g (x , y , z) = (g_1 , g_2 , g_3)

O produto vetorial deles é:

vec f xx vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[f_1,f_2,f_3],[g_1,g_2,g_3]]|

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! Os campos dessa questão são:

vec f = ( x z , z y , x y )

vec g = (x^2 , y^2 , z^2)

Então,

f_1 = x z

f_2 = z y

f_3 = x y

g_1 = x^2

g_2 = y^2

g_3 = z^2

Primeiro vamos calcular o rotacional do campo vec f . Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del f_3)/(del y) = (del (x y))/(del y) = x

(del f_2)/(del z) = (del (z y))/(del z) = y

(del f_1)/(del z) = (del ( x z ))/(del z) = x

(del f_3)/(del x) = (del ( x y ))/(del x) = y

(del f_2)/(del x) = (del ( z y ))/(del x) = 0

(del f_1)/(del y) = (del ( x z ))/(del y) = 0

Agora é só substituir!

r o t vec f = ( x - y ) vec i + (x - y) vec j + (0 - 0) vec k

Arrumando,

r o t vec f = (x - y) (vec i + vec j)

Passo 3

Agora vamos calcular o produto vetorial desse rotacional com o campo vec g .

(grad vec f) xx vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[x,-,y,x,-,y,0],[x^2,y^2,z^2]]|

Desenvolvendo,

(grad vec f) xx vec g = (x - y) z^2 vec i - (x - y) z^2 vec j + (x - y) (y^2 - x^2) vec k

Resposta

(grad vec f) xx vec g = (x - y) z^2 vec i - (x - y) z^2 vec j + (x - y) (y^2 - x^2) vec k

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