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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 06

Encontre todos os pontos (a, b, c) sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2

onde o campo vetorial F = y z 2 i + x z 2 j + 2 x y z k é normal a superficie

e F(a, b, c) ≠ 0.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sendo a função F = y z 2 i + x z 2 j + 2 x y z k e n = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 = x i + y j + z k R

Ele vai ser paralelo a n quando,

y z 2 = c x R ,       x z 2 = c y R ,       2 x y z = c z R

y z 2 x = x z 2 y = 2 x y → y 2 = x 2 → y = ± x

z 2 = ± c R = 2 x 2 → z = ± 2 x

Passo 2

Com isso, vamos ter que

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 → x 2 + x 2 + 2 x 2 = R 2 → 4 x 2 = R 2 → x = ± R 2

E assim os pontos vão ser:

R 2 ,   R 2 , 2 R 2   ,   R 2 ,   R 2 , - 2 R 2  

- R 2 , -   R 2 , 2 R 2   ,   - R 2 , -   R 2 , - 2 R 2  

R 2 , -   R 2 , 2 R 2 ,   R 2 , -   R 2 , - 2 R 2    

- R 2 ,   R 2 , 2 R 2 ,   - R 2 ,   R 2 , - 2 R 2    

Resposta

R 2 ,   R 2 , 2 R 2   ,   R 2 ,   R 2 , - 2 R 2  

- R 2 , -   R 2 , 2 R 2   ,   - R 2 , -   R 2 , - 2 R 2  

R 2 , -   R 2 , 2 R 2 ,   R 2 , -   R 2 , - 2 R 2    

- R 2 ,   R 2 , 2 R 2 ,   - R 2 ,   R 2 , - 2 R 2    

Exercícios de Livros Relacionados

5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:b) poligonal ABCD, com A(1,0), B(1,1), C(2,1) e D(2,2), de A até D;
8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:(a) circungerência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário;
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.c) ∫ 0,1 , 1 1,0 , 1 ( 2 x yd x + x 2d y + 2d z )
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.f) ∫ - 1,0 , 0 1 , 1,1 [ e y d x + x e y + e z d y + y e z - 2 e - 2 z d z ]
7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = y z , x z , x y + 1 nos seguintes deslocamentos:(a) ao longo da elipse x 2 + y 2 4 = 9 , no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) a B(0