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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 8

Encontrar a equação de uma reta que passa na origem e é normal à superfície x + 2 y + z = 4

Passo 1

Pois bem, para encontrar a reta normal a superfície, existem várias maneiras distintas, entretanto acho que neste momento do livro, ele só quer que resolvemos de uma maneira.

Vamos parametrizar nossa superfície e encontrar os vetores tangentes a superfície.

Tirando o produto vetorial entre os vetores teremos o vetor diretor de nossa reta. De brinde, no final irei resolver nosso problema de um jeito muito mais fácil, mas não sei o que o professores de vocês irão achar disso hahahah, mas vamos lá

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar a superfície.

Fazendo x = u e y = v , ficamos com

r → u , v = ( u , v , 4 - u - 2 v )

Agora vamos achar os vetores tangentes fazendo

∂ r ∂ u = ( 1,0 , - 1 )

e

∂ r ∂ v = ( 0,1 , - 2 )

E agora para achar o vetor diretor, vamos tirar o produto vetorial entre os dois vetores

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t   i ^ j ^ k ^ 1 0 - 1 0 1 - 2 = i ^ + 2 j ^ + k ^

Assim uma reta que passa pela origem terá como equação

x , y , z = 0,0 , 0 + t 1,2 , 1

E assim nossa reta será a que respeita

x = z

e

y = 2 x

Como brinde, temos que, não precisaríamos fazer todo esse processo para calcular o vetor normal a superfície se a gente souber que o vetor normal a uma superfície com a cara a x + b y + c z + d = 0 é igual a a , b , c assim logo de início já sabíamos que o vetor normal a superfície seria ( 1,2 , 1 )

Resposta

x = z e y = 2 x

.

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