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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 9

Determinar o campo normal unitário do paraboloide

r → u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n   v ,   u 2 - 1

Representando-o graficamente sobre a superfície

Passo 1

Pois bem pessoal, para determinarmos o campo normal unitário, devemos calcular o vetor normal a superfície e normaliza-lo. Pata isso vamos calcular os vetores tangentes e tirar o produto vetorial entre eles, assim tendo o vetor normal a superfície.

Passo 2

Vamos achar os vetores tangentes fazendo

∂ r ∂ u = ( cos ⁡ v , s e n   v ,   2 u )

e

∂ r ∂ v = ( - u   s e n   v ,   u cos ⁡ v ,   0 )

E agora para achar o vetor diretor, vamos tirar o produto vetorial entre os dois vetores

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t   i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n   v 2 u - u   s e n   v u cos ⁡ v 0 = ( - 2 u 2 cos ⁡ v ) i ^ + ( - 2 u 2 s e n   v ) j ^ + u k ^

Isso nos da que nosso vetor normal é

n → = ( - 2 u 2 cos ⁡ v ,   - 2 u 2 s e n v ,   u )

E para normaliza-lo fazemos

n → = - 2 u 2 cos ⁡ v 2 + - 2 u 2   s e n   v 2 + u 2 = 4 u 4 + u 2 = u 4 u 2 + 1  

Assim nosso vetor normalizado será

n → n → = n ^ = ( - 2 u cos ⁡ v ,   - 2 u   s e n   v , 1 ) 4 u 2 + 1

Onde é valido para todo u   ≠ 0

Resposta

n ^ = ( - 2 u cos ⁡ v ,   - 2 u   s e n   v , 1 ) 4 u 2 + 1

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Determinar um campo normal unitário do plano que passa nos pontos 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 , usando as seguintes parametrizações r → u , v = u + v i ^ + u - v j ^ + 1 - 2 u k ^