Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 i → + x j → + z k → sobre uma partícula ao longo de C , que é mostrado na Figura 9.34.

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Aqui a força é F = ( 2 , x , z ) e o caminho está dividido em três retas, que a gente vai ter que parametrizar cada uma.

Vamos calcular o trabalho realizado em cada reta e depois nós somamos as três.

Passo 2

Vamos para a primeira reta, que vai do ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,2 ) . Uma equação paramétrica para ela é:

r 1 : x = t y = 2 t z = 0 ,       t ∈ [ 0,1 ]

A derivada aqui é ( 1,2 , 0 ) e aí calculamos o trabalho assim:

∫ 0 1 ( 2 , t , 0 )   1,2 , 0 d t

∫ 0 1 2 + 2 t   d t

2 t + t 2 0 1

= 2 + 1 = 3

Passo 3

Vamos para a segunda reta agora, que vai de 1,2   a   ( 1,3 ) .

Uma equação paramétrica pra ela é:

r 2 : x = 1 y = 2 + t z = 0 ,       t ∈ [ 0,1 ]

A derivada é ( 0,1 , 0 ) e o trabalho é:

∫ 0 1 2 ,   1 ,   0 0,1 , 0 d t

∫ 0 1 1   d t

= 1

Passo 4

A terceira reta vai de 1,3 a   ( 3,3 ) . Podemos parametrizar como:

r 3 : x = 1 + 2 t y = 3 z = 0 ,   t ∈ [ 0,1 ]

Derivamos e encontramos: 2,0 , 0 .

Montamos a integral do trabalho agora:

∫ 0 1 2 ,   1 + 2 t ,   0 2,0 , 0 d t

∫ 0 1 4   d t

= 4

Passo 5

Beleza, agora é só a gente somar os três trabalhos encontrados...

W = 3 + 1 + 4

W = 8

Prontinho! Esse é o trabalho😉

Resposta

W = 8

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