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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 132

Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função g x = e 3 - 2 x - x 2 .

Passo 1

É preciso saber o domínio da função. Na raiz do expoente, o radical deve ser não negativo. Logo:

3 - 2 x - x 2 ≥ 0 ⇒ - 3 ≤ x ≤ 1 ⇒ D g = - 3   ,   1

Passo 2

Os “candidatos” a máximo e mínimo absolutos são as raízes da primeira derivada. Para achar as raízes da primeira derivada, fazemos:

g ' x = e 3 - 2 x - x 2 ∙ 1 2 ∙ 3 - 2 x - x 2 - 1 2 - 2 - 2 x = 0 ⇒ - e 3 - 2 x - x 2 x + 1 3 - 2 x - x 2 = 0 ⇒

⇒ x = - 1

Passo 3

É preciso saber se essas raízes são pontos de máximo, de mínimo ou de inflexão. Para isso, substituímos os seus valores na segunda derivada da função:

g ' ' x = - e 3 - 2 x - x 2 x + 1 2 3 - 2 x - x 2 + - e 3 - 2 x - x 2 1 3 - 2 x - x 2 + - 1 2 3 - 2 x - x 2 - 3 2 - 2 - 2 x

= - e 3 - 2 x - x 2 x + 1 2 3 - 2 x - x 2 + 1 3 - 2 x - x 2 + 3 - 2 x - x 2 - 3 2 x + 1

g ' ' - 1 = - e 3 - 2 - 1 - - 1 2 - 1 + 1 2 3 - 2 - 1 - - 1 2 + 1 3 - 2 - 1 - - 1 2 + 3 - 2 - 1 - - 1 2 - 3 2 - 1 + 1 =

= - e 2 2

Portanto, x = - 1 é ponto de máximo local.

Passo 4

Substituindo os extremos do domínio e o máximo local encontrado na função:

g - 3 = g 1 = e 0 = 1

g - 1 = e 3 - 2 - 1 - - 1 2 = e 2

Passo 5

O menor valor que a função assume está em ambos os extremos de seu domínio, sendo esse o mínimo absoluto. Já o maior valor que a função assume é o do máximo local, sendo esse também o máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto: 1

Encontrado nos pontos:

- 3   ,   1   e   1   ,   1

Máximo absoluto: e 2

Encontrado no ponto:

- 1   ,   e 2

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