Se f(x) = x^2 / (1 + x) , encontre f''(1) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a segunda derivada de f x = x 2 1 + x no ponto x = 1 , ou seja, encontrar f ' ' ( 1 ) .

Parece complicado? 👀

Como temos um quociente de funções, vamos relembrar a regra do quociente para derivação:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Vamos precisar também da regra da potência, então vamos deixar ela aqui:

d d x x n = n x n - 1

Beleza, agora vamos aplicar essas regrinhas na nossa função, derivando duas vezes, e depois substituir x = 1 no resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do quociente para calcular a primeira derivada de f x = x 2 / ( 1 + x ) :

f ' x = x 2 ' 1 + x - x 2 1 + x ' 1 + x 2

Agora usando a regra da potência, temos:

f ' x = 2 x 2 - 1 1 + x - x 2 ( 0 + x 1 - 1 ) 1 + x 2

f ' x = 2 x 1 + x - x 2 1 + x 2

Expandindo o produto no numerador:

f ' x = 2 x + 2 x 2 - x 2 1 + x 2

E simplificando:

f ' x = 2 x + x 2 1 + x 2

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x + x 2 1 + x 2 '

Aplicando novamente a regra do quociente:

f ' ' x = 2 x + x 2 ' 1 + x 2 - 2 x + x 2 1 + x 2 ' 1 + x 4

Agora usando a regra da potência e a regra da cadeia, temos:

f ' ' x = ( 2 x 1 - 1 + 2 x 2 - 1 ) 1 + x 2 - 2 x + x 2 2 ( 1 + x ) ( x 1 - 1 ) 1 + x 4

f ' ' x = ( 2 + 2 x ) 1 + x 2 - 2 x + x 2 ( 2 + 2 x ) 1 + x 4

Colocando ( 2 + 2 x ) em evidência:

f ' ' x = 2 + 2 x [ 1 + x 2 - 2 x + x 2 ] 1 + x 4

Expandindo o produto notável 1 + x 2 :

f ' ' x = 2 + 2 x [ 1 + 2 x + x 2 - 2 x - x 2 ] 1 + x 4

E simplificando:

f ' ' x = 2 + 2 x 1 + x 4

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Agora podemos aplicar x = 1 , para obter f ' ' 1 :

f ' ' 1 = 2 + 2 ∙ ( 1 ) 1 + 1 4

f ' ' 1 = 2 + 2 2 4 = 4 16

Simplificando:

f ' ' 1 = 1 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' ' 1 = 1 4

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