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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 41

Se f (x) = x^2 // ( 1 + x ) , encontre f^(' ') ( 1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a segunda derivada de f (x) = (x^2)/(1 + x) no ponto x = 1 , ou seja, encontrar f^(' ') ( 1 ) .

Parece complicado? 👀

Como temos um quociente de funções, vamos relembrar a regra do quociente para derivação:

((f)/(g))^' = (f^' g - f g^')/(g^2)

Vamos precisar também da regra da potência, então vamos deixar ela aqui:

(d)/(d x) (x^n) = n x^(n - 1)

Beleza, agora vamos aplicar essas regrinhas na nossa função, derivando duas vezes, e depois substituir x = 1 no resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do quociente para calcular a primeira derivada de f (x) = x^2 // ( 1 + x ) :

f^' (x) = ((x^2)^' (1 + x) - x^2 (1 + x)^')/((1 + x)^2)

Agora usando a regra da potência, temos:

f^' (x) = (2 x^(2 - 1) (1 + x) - x^2 ( 0 + x^(1 - 1) ))/((1 + x)^2)

f^' (x) = (2 x (1 + x) - x^2)/((1 + x)^2)

Expandindo o produto no numerador:

f^' (x) = (2 x + 2 x^2 - x^2)/((1 + x)^2)

E simplificando:

f^' (x) = (2 x + x^2)/((1 + x)^2)

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada:

f^(' ') (x) = [(2 x + x^2)/((1 + x)^2)]^'

Aplicando novamente a regra do quociente:

f^(' ') (x) = ((2 x + x^2)^' (1 + x)^2 - (2 x + x^2) [(1 + x)^2]^')/((1 + x)^4)

Agora usando a regra da potência e a regra da cadeia, temos:

f^(' ') (x) = (( 2 x^(1 - 1) + 2 x^(2 - 1) ) (1 + x)^2 - (2 x + x^2) 2 ( 1 + x ) ( x^(1 - 1) ))/((1 + x)^4)

f^(' ') (x) = (( 2 + 2 x ) (1 + x)^2 - (2 x + x^2) ( 2 + 2 x ))/((1 + x)^4)

Colocando ( 2 + 2 x ) em evidência:

f^(' ') (x) = ((2 + 2 x) [ (1 + x)^2 - (2 x + x^2) ])/((1 + x)^4)

Expandindo o produto notável (1 + x)^2 :

f^(' ') (x) = ((2 + 2 x) [ 1 + 2 x + x^2 - 2 x - x^2 ])/((1 + x)^4)

E simplificando:

f^(' ') (x) = (2 + 2 x)/((1 + x)^4)

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Agora podemos aplicar x = 1 , para obter f^(' ') (1) :

f^(' ') (1) = (2 + 2 * ( 1 ))/((1 + 1)^4)

f^(' ') (1) = (2 + 2)/((2)^4) = (4)/(16)

Simplificando:

f^(' ') (1) = (1)/(4)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^(' ') (1) = (1)/(4)

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