Enunciado

Se

f x = ln ⁡ 1 + e 2 x

Encontre f ' ( 0 )

Passo 1

Fala meus queridões...

Nessa questão temos aseguinte função:

f x = ln ⁡ 1 + e 2 x

E queremos encontrar sua derivada quando x = 0 , isso é:

f ' 0

Primeiramente, calcularemos uma fórmula geral para f ' ( x ) e depois, substituiremos x = 0 .

E para derivar essa expressão podemos perceber que temos uma exponencial e x , só que ao invés de x , temos 2 x . Ou seja, temos uma função 2 x dentro de outra e x .

Além disso, temos a função l n só que ao invés de ln ⁡ x , temos ln ⁡ 1 + e 2 x , novamente uma função dentro de outra.

Para resolver esses casos vamos usar a regra da cadeia que diz que se você tem uma função do tipo:

F x = f g x

Então sua derivada vai ser:

F ' x = f ' g x g ' x

Ou seja, basta derivar a de fora em função da de dentro e a de dentro em função de x .

Passo 2

Temos a função

f x = ln ⁡ 1 + e 2 x

Aplicando a regra da cadeia, vou chamar 1 + e 2 x de u :

f ' x = d d u ln ⁡ u d d x     1 + e 2 x '

Derivando l n ⁡ ( u ) , temos:

f ' x = 1 u d d x     1 + e 2 x '

Desfazendo a substituição, temos:

f ' x = 1 1 + e 2 x d d x     1 + e 2 x '

Agora falta derivar a função de dentro.

Passo 3

Temos que encontrar a derivada de

1 + e 2 x

A derivada de 1 é 0 , pois ele é uma constante.

E a derivada de e 2 x , podemos fazer outra regra da cadeia, chamando 2 x de u .

1 + e 2 x ' = 0 + d d u e u d d x 2 x  

Que resulta em:

1 + e 2 x ' = e u 2

Desfazendo a substituição, ficamos com:

1 + e 2 x ' = 2 e 2 x

E substituindo na expressão do passo 2, obtemos:

f ' x = 1 1 + e 2 x d d x     1 + e 2 x '

f ' x = 1 1 + e 2 x 2 e 2 x

f ' x = 2 e 2 x 1 + e 2 x

Passo 4

Agora, basta substituirmos x = 0 em f ' ( x ) :

f ' 0 = 2 ⋅ e 0 1 + e 0 = 2 1 + 1 = 1

Resposta

f ' 0 = 1

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