Encontre o número b tal que a reta y = b divida a região delimitada pelas curvas y = x ² e y = 4 em duas regiões com área igual.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos as curvas:

y = x ² e y = 4

E o enunciado pede pra a gente encontrar uma reta y = b que divide a região definida por y = x 2 e y = 4 em duas áreas iguais:

Para descobrir as áreas, vamos integrar em relação à y , pois dessa forma ficará mais simples escrevermos as integrais.

Passo 2

Vamos escrever a função tendo como variável y :

y = x 2       →           x = ± y

Teremos agora um gráfico invertido:

Passo 3

Vamos escrever as áreas como integrais, lembrando que a área marrom ( A 1 ) é igual a área amarela ( A 2 ):

A 1 = ∫ 0 b y d y

A 2 = - ∫ b 4 - y d y  

A 1 = A 2

∫ 0 b y d y = ∫ b 4 y d y = 2 3 y 3 b 4

Aplicando os limites de integração:

2 3 b 3 - 0 3 = 2 3 4 3 - b 3

2 b 3 = 4 3

4 b 3 = 4 3

4 b 3 = 4 3

Chegamos em:

b = 2 2 3

Prontinho!

Resposta

b = 2 2 3

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