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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 24

Encontre (d y)/(d x) :

y = e^(sqrt(1 + 5 x^2))

Passo 1

Considerando a função : y = e^(sqrt(1 + 5 x^2))

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f = e^u

u = sqrt(1 + 5 x^3)

Vamos derivar os termos separadamente:

(d y)/(d u) = (d)/(d u) e^u = e^u

Agora derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (d ( (1 + 5 x^2)^((1)/(2)) ))/(d x) = (1 + 5 x^3)^((1)/(2)) = (1)/(2) . (0 + 15 x^2) . (1 + 5 x^3)^(- (1)/(2))

(d u)/(d x) = (15 x^2 .)/(2 sqrt(1 + 5 x^3))

Aplicando na regra da cadeia que diz que :

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = e^u . [(15 x^2 .)/(2 sqrt(1 + 5 x^3))]

Substituindo o valor de u :

(d y)/(d x) = e^(sqrt(1 + 5 x^2)) [(15 x^2 .)/(2 sqrt(1 + 5 x^3))]

Resposta

(d y)/(d x) = e^(sqrt(1 + 5 x^2)) [(15 x^2 .)/(2 sqrt(1 + 5 x^3))]

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