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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 35

Encontre d y d x usando o método da derivação logarítimica:

y = ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Passo 1

A técnica de diferenciação logarítimica consiste em aplicar a função logaritimo natural de ambos os lados da função, permitindo aplicar propriedades importantes de logaritimo para facilitar o calculo da derivada.

Se a função :

y = ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) ln ⁡ x

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ⁡ ( y ) = ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ ln ⁡ ( x )

Aplicando a derivada em ambos os lados:

d d x ln ⁡ y = d d x ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ ln ⁡ ( x )

Resolvendo as derivadas, e aplicando a regra do produto, ficamos com:

1 y . d y d x = 1 x . ln ⁡ ln ⁡ x + 1 x . ln ⁡ x . ln ⁡ x

Simplificando termos:

1 y . d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x

Multiplicamos ambos os lados da equação por y :

d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x .   ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Resposta

d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x .   ln ⁡ ( x ) l n ( x )

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Encontre d y // d x .y = ln sqrt(x)
Encontre d y // d x .y = ln | x^2 - 1 |
Encontre d y // d x .y = x [log_2 (x^2 - 2 x)]^3
Encontre d y // d x .y = ln |(1 + x)/(1 - x)|
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:Temos: d d x ( ln ⁡ x 2 = d d x ( 2 ln ⁡ x = 2 x