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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 25

Encontre (d y)/(d x) :

y = l n ( 1 - x e^(- x) )

Passo 1

Considerando a função : y = l n ( 1 - x e^(- x) )

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f = l n ( u )

u = 1 - x e^(- x)

Vamos derivar os termos separadamente:

(d y)/(d u) = (d)/(d u) l n ( u ) = (1)/(u)

Agora derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (d ( 1 - x e^(- x) ))/(d x)

Sabendo que a derivada de um número constante é zero, vamos aplicar a regra do produto para solucionar (d u)/(d x) :

Onde:

w = - x

w ' = 1

v = e^(- x)

v^' = - e^(- x)

Aplicando na fórmula:

(d u)/(d x) = w^' . v + v^' . w

(d u)/(d x) = - 1 . e^(- x) - x . (- e^(- x)) = x e^(- x) - e^(- x)

Aplicando na regra da cadeia que diz que :

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . [x e^(- x) - e^(- x)] = (e^(- x) ( x - 1 ))/(u)

Substituindo o valor de u :

(d y)/(d x) = (e^(- x) ( x - 1 ))/(1 - x e^(- x))

Resposta

(d y)/(d x) = (e^(- x) ( x - 1 ))/(1 - x e^(- x))

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