Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x.

8y = raiz(5 - x), 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Para a rotação em torno do eixo x , vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 3 a 5 .

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d y d x .

d y d x = - 1 2 5 - x

Logo:

d s = 1 + - 1 2 5 - x 2   d x

= 1 + 1 20 - 4 x   d x

Passo 3

Agora vamos montar a integral.

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 3 5 2 π 5 - x 1 + 1 20 - 4 x   d x

= ∫ 3 5 2 π 5 - x 21 - 4 x 20 - 4 x   d x

Simplificando mais um pouco:

∫ 3 5 2 π 5 - x 21 - 4 x 4 ( 5 - x )   d x

= ∫ 3 5 2 π 5 - x 1 2 21 - 4 x ( 5 - x )   d x

= π ∫ 3 5 21 - 4 x   d x

Passo 4

Agora para continuar, vamos fazer uma substituição simples, da seguinte forma:

u = 21 - 4 x

d u = - 4   d x

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u 1 = 21 - 4 ( 3 ) = 9

u 2 = 21 - 4 ( 5 ) = 1

Então temos que nossa integral fica:

- π 4 ∫ 9 1 u   d u

Podemos trocar a ordem dos limites de integração e ficaremos com:

- π 4 - ∫ 1 9 u   d u

= π 4 ∫ 1 9 u   d u

Passo 5

Agora vamos continuar a integração.

π 4 ∫ 1 9 u   d u

= π 4 2 3 u 3 2 1 9

= π 6 9 3 2 - 1 3 2  

Assim:

π 6 27 - 1

= 13 π 3

Resposta

13 π 3

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