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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

y = 2 x - x 2 ,           0,5 ≤ x ≤ 1,5 ;       e i x o   x  

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 0,5 1,5 2 π 2 x - x 2 1 + 1 2 2 x - x 2 × ( 2 - 2 x ) 2     d x =

= 2 π ∫ 0,5 1,5   ( 2 x - x 2 ) 1 + 1 - x 2 x - x 2 2 d x = 2 π ∫ 0,5 1,5   ( 2 x - x 2 ) 1 + 1 - 2 x + x 2 2 x - x 2   d x

= 2 π ∫ 0,5 1,5   ( 2 x - x 2 ) 1 + 1 2 x - x 2 + - x ( 2 - x ) x ( 2 - x )   d x =

= 2 π ∫ 0,5 1,5   ( 2 x - x 2 ) 1 + 1 2 x - x 2   - 1 d x =  

= 2 π ∫ 0,5 1,5   2 x - x 2 2 x - x 2 d x =   2 π ∫ 0,5 1,5   d x = 2 π   ( x ) 1,5 0,5 = 2 π 1,5 - 0,5 = 2 π

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

2 π

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