Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x.

9 * y^2 = x + 1, 0 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Antes de começarmos a fazer alguma coisa, temos que dar uma mexidinha na função da nossa curva, que é a seguinte:

y 2 = x + 1

⇒ y = x + 1

Prontinho, agora podemos continuar.

Para a rotação em torno do eixo x , vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 0 a 3 .

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d y d x .

d y d x = 1 2 x + 1

Logo:

d s = 1 + 1 2 x + 1 2   d x

= 1 + 1 4 x + 4   d x

Passo 3

Agora vamos montar a integral.

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 0 3 2 π x + 1 1 + 1 4 x + 4   d x

= ∫ 0 3 2 π x + 1 4 x + 5 4 x + 4   d x

Simplificando mais um pouco:

∫ 0 3 2 π x + 1 4 x + 5 4 ( x + 1 )   d x

= ∫ 0 3 2 π x + 1 1 2 4 x + 5 ( x + 1 )   d x

= π ∫ 0 3 4 x + 5   d x

Passo 4

Agora para continuar, vamos fazer uma substituição simples, da seguinte forma:

u = 4 x + 5

d u = 4   d x

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u 1 = 4 ( 0 ) + 5 = 5

u 2 = 4 ( 3 ) + 5 = 17

Então temos que nossa integral fica:

π 4 ∫ 5 17 u   d u

Passo 5

Agora vamos continuar a integração.

π 4 ∫ 5 17 u   d u

= π 4 2 3 u 3 2 5 17

= π 6 17 3 2 - 5 3 2  

Assim:

π 6 1 7 17 - 5 5

Resposta

π 6 17 17 - 5 5

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