Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 50
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Eaeee, belezinha?? A questão nos dá a seguinte função:
A partir disso o enunciado nos pergunta um bocadinho de coisa.
Primeiro queremos encontrar as assíntotas.
Uma assíntota vertical é um valor de no qual a função tende para mais ou menos infinito. Para isso vamos procurar por pontos onde a função não seja definida, onde ela tenha uma descontinuidade.
Uma assíntota horizontal é um valor real que a função tende quando vai para menos ou mais infinito:
Ou
Queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Ou pontos onde a derivada não exista:
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Passo 2
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Nesse caso, não temos assíntotas verticais, pois o denominador da função nunca zera , portanto não há descontinuidades.
Agora para achar a assíntota horizontal, fazemos
Para resolver esse limite, como temos uma indeterminação do tipo , podemos usar L’hospital e assim derivar em cima e embaixo.
Simplificando, temos que:
Portanto, a função tende para quando tende para menos infinito e também tende para quando tende para mais infinito, dessa forma, é assíntota horizontal.
Passo 3
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.
Derivando , usando a regra do quociente, temos que
Organizando as contas,
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.
Para isso, devemos igualar a derivada a zero:
Ou seja,
Passo 4
Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira derivada e obter os máximos e mínimos.
Temos que
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).
Pelo teste da primeira derivada, é decrescente em e crescente em
Passo 5
Respondendo o item c)...
Vamos usar o item anterior, olha só!
Como muda de decrescente para crescente em , então é um ponto de mínimo local. Não existe máximo.
Passo 6
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra do quociente, temos que
Arrumando as contas,
Vamos achar o candidato a ponto de inflexão. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Ou seja
E teremos que:
(Você pode verificar isso substituindo valores de dentro desses intervalos e analisando o sinal da segunda derivada obtida.)
Isso quer dizer que a função será côncava para cima quando e ela será côncava para baixo quando e .
Como a concavidade da função muda em e em , esses são pontos de inflexão.
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico.
Reunindo as informações que obtivemos:
é assíntota horizontal para os dois lados.
é decrescente em e crescente em
é um ponto de mínimo local. Não existe máximo.
A função é côncava para baixo em . A função é côncava para cima em .
e são pontos de inflexão.
Resposta
é assíntota horizontal para os dois lados.
é decrescente em e crescente em
é um ponto de mínimo local. Não existe máximo.
A função é côncava para baixo em . A função é côncava para cima em .
e são pontos de inflexão.
