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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 41

41. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ d x x 2 + x x

Passo 1

Como queremos expressar como uma função racional, temos que sumir com essa raiz. Então, vamos a seguinte substituição:

u = x

Logo,

u 2 = x

Derivando, temos:

2 u d u = d x

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ d x x 2 + x x

E vai ficar assim ó:

I = ∫ 2 u d u u 4 + u 2 ⋅ u

Assim,

I = ∫ 2 u 3 + u 2 d u

Fatorando o segundo termo, temos:

I = ∫ 2 u 2 ( u + 1 ) d u

Opa, agora vamos ter que dividir em frações parciais. Vem comigo!

2 u 2 u + 1 =   A u + B u 2 + C u + 1

Deixando tudo no mesmo denominador:

2 u 2 u + 1 =   A u ⋅ u ( u + 1 ) u ( u + 1 ) + B u 2 ⋅ u + 1 u + 1 + C u + 1 ⋅ u 2 u 2

Portanto,

2 u 2 u + 1 = A u 2 + u + B u + 1 + C ( u 2 ) u 2 u + 1

Isto é,

2 u 2 u + 1 = u 2 A + C + u A + B + B u 2 u + 1

Montando o sistema:

A + C = 0 A + B = 0 B = 2

Então,

A = - 2 , B = 2 e C = 2

Passo 3

Agora é vamos voltar para nossa expressão

2 u 2 u + 1 =   A u + B u 2 + C u + 1

Logo,

2 u 2 u + 1 = - 2 u + 2 u 2 + 2 u + 1

Agora vamos partir para integral!

I = ∫ - 2 u + 2 u 2 + 2 u + 1 d u  

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I = - 2 ln ⁡ u + 2 u - 2 + 1 - 2 + 1 + 2 ln ⁡ u + 1 + C

Isto é,

I = - 2 ln ⁡ u - 2 u + 2 ln ⁡ u + 1 + C

Voltando para variável x ( u = x ):

I = - 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

- 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + C

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