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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 16

Encontre a carga no capacitor e a corrente em um circuito em série L - C quando L = 0,1   h e n r y , C = 0,1   f a r a d , E t = 100 sen ⁡ γ t volts, q 0 = 0 coulomb e i 0 = 0   ampère.

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

0,1 q ' ' + 10 q = 100 sen ⁡ γ t

Passo 2

Vamos calcular a parte homogênea primeiro. Temos a equação auxiliar:

m 2 + 10 = 0

m 1 = 10 i     e   m 2 = - 10 i

A solução dessa parte então é:

q g = c 1 cos ⁡ 10 t + c 2 sen ⁡ 10 t  

Passo 3

Agora a gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Analisando o que temos do lado direito, vamos supor: q p = A sen ⁡ γ t + B cos ⁡ γ t   :

q p ' = A γ cos ⁡ γ t - B γ sen ⁡ γ t

q p ' ' =   - A γ 2 sen ⁡ γ t - B γ 2 cos ⁡ γ t

Substituindo:

0,1 q ' ' + 10 q = 100 sen ⁡ γ t

0,1 - A γ 2 sen ⁡ γ t - B γ 2 cos ⁡ γ t + 10 A sen ⁡ γ t + B cos ⁡ γ t = 100 sen ⁡ γ t

Daí encontramos:

A = 100 100 - γ 2     e   B = 0

Então...

q p = 100 100 - γ 2 sen ⁡ γ t

A solução então é:

q t = c 1 cos ⁡ 10 t + c 2 sen ⁡ 10 t + 100 100 - γ 2 sen ⁡ γ t

Passo 4

Agora a gente vai usar as condições iniciais para encontrar c 1   e   c 2 :

q 0 = 0 ;     i 0 = 0

q 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + 100 100 - γ 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

E derivando q ( t ) ...

q ' t = - 10 c 1 sen ⁡ 10 t + 10 c 2 cos ⁡ 10 t + 100 γ 100 - γ 2 cos ⁡ γ t

q ' 0 =   - 10 c 1 sen ⁡ 0 + 10 c 2 cos ⁡ 0 + 100 γ 100 - γ 2 cos ⁡ 0 = 0

c 2 = - 10 γ 100 - γ 2

Então a equação da carga é:

q t = - 10 γ 100 - γ 2 sen ⁡ 10 t + 100 100 - γ 2 sen ⁡ γ t

q t = 10 100 - γ 2 10 sen ⁡ t - γ sen ⁡ 10 t

E derivando, encontramos a corrente:

i t = 100 γ 100 - γ 2   cos ⁡ γ t - cos ⁡ 10 t

E pronto! 😉

Resposta

q t = 10 100 - γ 2 10 sen ⁡ t - γ sen ⁡ 10 t

i t = 100 γ 100 - γ 2   cos ⁡ γ t - cos ⁡ 10 t

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