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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 17

Encontre a carga no capacitor e a corrente em um circuito em série L - C quando E t = E 0 cos ⁡ γ t ,   q 0 = q 0 e i 0 = i 0   ampères.

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, lembrando que ela não tem resistor, nossa equação fica:

L q ' ' + 1 C q = E 0 cos ⁡ γ t

Passo 2

Lá no exemplo 1 do livro, temos que a solução geral pra esse problema é:

q t = c 1 cos ⁡ t L C + c 2 sen ⁡ t L C + q p ( t )

Onde q p t = A sen ⁡ γ t + B cos ⁡ γ t . q p ' t =   A γ c o s   γ t - B γ sen ⁡ γ t .

Agora, substituindo isso na EDO, ficamos com:

L   A γ c o s   γ t - B γ sen ⁡ γ t + 1 C A sen ⁡ γ t + B cos ⁡ γ t = E 0 cos ⁡ γ t

1 C - L γ 2 A sen ⁡ γ t + 1 C - L γ 2 B cos ⁡ γ t = E 0 cos ⁡ γ t

Daí a gente tira que A = 0   e   B = E 0 C 1 - L C γ 2 .

Passo 3

Com isso, temos a solução:

q t = c 1 cos ⁡ t L C + c 2 sen ⁡ t L C + E 0 C 1 - L C γ 2 cos ⁡ γ t

Agora a gente vai usar as condições iniciais para encontrar c 1   e   c 2 :

q 0 = q 0 ;     i 0 = q ' ( 0 ) = i 0

Substituindo isso, encontramos:

c 1 = q 0 - E 0 C 1 - L C γ 2       e     c 2 = i 0 L C

Então a carga é:

q t = q 0 - E 0 C 1 - L C γ 2 cos ⁡ t L C + i 0 L C sen ⁡ t L C + E 0 C 1 - L C γ 2 cos ⁡ γ t

E derivando, encontramos a equação da corrente:

i t =   - c 1 L C sen ⁡ 1 L C t + c 2 L C cos ⁡ 1 L C - E 0 C γ 1 - L C γ 2 sen ⁡ γ t

Substituindo c 1 e   c 2 :

i t =   - q 0 - E 0 C 1 - L C γ 2 L C sen ⁡ 1 L C t + i 0 cos ⁡ 1 L C - E 0 C γ 1 - L C γ 2 sen ⁡ γ t

E terminamos! 😉

Resposta

q t = q 0 - E 0 C 1 - L C γ 2 cos ⁡ t L C + i 0 L C sen ⁡ t L C + E 0 C 1 - L C γ 2 cos ⁡ γ t

i t =   - q 0 - E 0 C 1 - L C γ 2 L C sen ⁡ 1 L C t + i 0 cos ⁡ 1 L C - E 0 C γ 1 - L C γ 2 sen ⁡ γ t

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