Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 3

Em casa um dos problemas de 1 a 4, determine ω 0 , R e δ , de modo a escrever a expressão dada na forma s = R cos ⁡ ω 0 t - δ .

s = 4 cos ⁡ 3 t - 2   s e n   3 t

Passo 1

Vamos fazer algo simples. Não estamos interessados na física do capítulo, mas apenas na matemática. Assim tome a equação 12 dada por

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Dela vamos supor escrever por conveniência ela da forma que queremos

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

Que se abrirmos usando nossa conhecidas relações trigonométricas, temos

s = R cos ⁡ δ cos ⁡ ω 0 t + R   s e n   δ   s e n   ω 0 t

Assim só disso que precisamos pra resolver nosso problema

Passo 2

Olhando para nosso passo 1, a única pessoas que precisamos ajeita é a parte do delta, certo?

Assim queremos que

R cos ⁡ δ = 4 R   s e n   δ = - 2

Assim é o que precisamos resolver.

Vamos elevar cada termo ao quadrado e soma-los, simples não ?

O que nos dá

R 2 cos 2 ⁡ δ + R 2 s e n 2 δ = R 2 = 16 + 4 = 20

Assim temos que

R = 2 5

Passo 3

E temos também pela divisão entre eles que

tan ⁡ δ = - 1 / 2

Assim

δ ≈ - 0,4636

Assim teremos então

s = 4 cos ⁡ 3 t - 2   s e n   3 t = 2 5 cos ⁡ - 0,4636 cos ⁡ 3 t + 2 5   s e n - 0,4636   s e n   3 t

Como cosseno é par, temos que cos ⁡ - a = cos ⁡ ( a ) e como seno é ímpar, s e n - a = - s e n   a , então

s = 2 5 cos ⁡ 0,4636 cos ⁡ 3 t - 2 5   s e n 0,4636   s e n   3 t

Que pode ser resumido em

s = 2 5 cos ⁡ ( 3 t + 0,4636 )

Resposta

R = 2 5 ,   ω 0 = 3   e δ = - 0,4636   r a d

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um circuito um série tem um capacitor de 0,25 × 10 - 6 F e um indutor de 1 H . Se a carga inicial no campacitor for de 10 - 6 C e se não houver corrente inicial, encontre a carga Q no capacitor em qua
Em casa um dos problemas de 1 a 4, determine ω 0 , R e δ , de modo a escrever a expressão dada na forma s = R cos ⁡ ω 0 t - δ . s = - 2 cos ⁡ π t - 3s e nπ t
Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ω 0 ,Reδ , de modo a escrever a expressão dada na forma s = R ⋅ cos ⁡ ω 0 t - δ . s = 3 cos ⁡ 2 t + 4 sin ⁡ 2 t
Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ω 0 ,Reδ , de modo a escrever a expressão dada na forma s = R ⋅ cos ⁡ ω 0 t - δ . s = - cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t
Se um circuito em série tem um capacitor de C = 0,8 × 10 - 6 F e um indutor de L = 0,2 H , encontre a resistência R de modo que o circuito tenha amortecimento crítico