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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 19

Encontre a equação de movimento que descreve pequenos deslocamentos θ ( t ) de um pêndulo simples de comprimento igual a 2   m solto no instante t = 0 com um deslocamento de 1 2   r a d à direita do eixo vertical e velocidade angular de 2 3   m / m i n para a direita. Calcule a amplitude, o período e a frequência do movimento.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação diferencial que relaciona o movimento de um pêndulo é:

d θ 2 d t 2 + g l θ = 0

Onde g é a gravidade e l é o comprimento do pêndulo.

(A gente vai usar g = 32   f t / s 2 , que é a medida do livro originalmente, porque senão não vai dar muito certo...)

Aí vamos ter nossa equação:

θ ' ' + 16 θ = 0

Passo 2

Resolvendo essa EDO...

m 2 + 16 = 0

m 1 = 4 i

m 2 = - 4 i

E aí nossa solução geral é:

θ ( t ) = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sen ⁡ 4 t

Passo 3

Vamos usar os valores iniciais pra descobrir o c 1 e   c 2 agora...

Pelo enunciado, temos θ 0 = 1 2     e   θ ' 0 = 2 3 , substituindo na solução:

θ 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 1 2

c 1 = 1 2

E:

θ ' t = - 4 c 1 sen ⁡ 4 t + 4 c 2 cos ⁡ 4 t

θ ' 0 = - 4 c 1 sen ⁡ 0 + 4 c 2 cos ⁡ 0 = 2 3

4 c 2 = 2 3

c 2 = 3 2

Passo 4

A equação de movimento então é:

θ ( t ) = 1 2 cos ⁡ 4 t + 3 2 sen ⁡ 4 t

Calculando a amplitude:

c 1 2 + c 2 2 = 1 2 2 + 3 2 2 = 1 4 + 3 4 = 1

O período:

T = 2 π l g

= 2 π 2 32 = 2 π 1 4 = π 2

E a frequência, que é o inverso do período, é 2 π 😉

Resposta

θ ( t ) = 1 2 cos ⁡ 4 t + 3 2 sen ⁡ 4 t

Amplitude: 1

Período: π 2

Frequência: 2 π

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