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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 9

Encontre a carga e a corrente do estado estacionário em um circuito em série L-R-C quando L = 1   h e n r y , R = 2   o h m s ,   C = 0,25   f a r a d   e   E t = 50 cos ⁡ t .

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

  q ' ' + 2 q ' + 4 q = 50 cos ⁡ t

A solução estacionária é uma solução particular dessa EDO, então vamos ver isso...

Passo 2

A gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Como temos   50 cos ⁡ t do lado direito, vamos supor: q p = A c o s   t + B sen ⁡ t :

q ' p = - A s e n   t + B c o s   t

q p ' ' =   - A c o s   t - B s e n   t

Substituindo, ficamos com:

  q ' ' + 2 q ' + 4 q = 50 cos ⁡ t

  - A c o s   t - B s e n   t - 2 A s e n   t + 2   B c o s   t + 4 A c o s   t + 4 B s e n   t = 50 cos ⁡ t

cos ⁡ t 3 A + 2 B + sen ⁡ t - 2 A + 3 B = 50 cos ⁡ t

3 A + 2 B = 50

- 2 A + 3 B = 0 → A = 3 B 2

9 B 2 + 2 B = 50 → B = 100 13

E daí: A = 150 13 .

Então a carga estacionária é dada por:

q p = 150 13 cos ⁡ t + 100 13 sen ⁡ t .

Passo 3

Para encontrar a corrente estacionária, basta derivarmos essa expressão da carga:

i t = q ' p = - 150 13 sen ⁡ t + 100 13 cos ⁡ t

E terminamos aqui! 😉

Resposta

q p = 150 13 cos ⁡ t + 100 13 sen ⁡ t

i t = - 150 13 sen ⁡ t + 100 13 cos ⁡ t

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