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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 8

Nos problemas 7 e 8, encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito em série L-R-C dado. Calcule a carga máxima no capacitor.

L = 1   h e n r y ;     R = 100   o h m s ,     C = 0,0004   f a r a d ,

    E t = 30   v o l t s ;     q 0 = 0   c o u l o m b ;     i 0 = 2   a m p e r e s

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

  q ' ' + 100 q ' + 2500 q = 30

Agora vamos resolver essa EDO!

Passo 2

Essa é uma EDO de coeficientes constantes, então a gente resolve através da equação auxiliar:

m 2 + 100 m + 2500 = 0

Resolvendo...

Δ = 10000 - 10000 = 0

m ' = m ' ' = - 100 2 = - 50

A solução da parte homogênea então é essa:

q t g = c 1 e - 50 t + c 2 x e - 50 t

Passo 3

Agora a gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Como temos 30 do lado direito, vamos supor: q p = A :

q ' p = 0

q p ' ' = 0

Substituindo, ficamos com:

  q ' ' + 100 q ' + 2500 q = 30

0 + 0 + 2500 A = 30

A = 30 2500 = 3 250

Nossa solução geral então é:

q t = c 1 e - 50 t + c 2 t e - 50 t + 3 250

Passo 4

Agora vamos usar nossos valores iniciais para descobrir o c 1   e   c 2 :

Temos os valores iniciais:

    q 0 = 0   c o u l o m b ;     i 0 = q ' ( 0 ) = 2   a m p e r e s

Vamos substituir isso na nossa solução então...

q 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 + 3 250 = 0

c 1 = - 3 250

E derivando...

q ' t = - 50 c 1 e - 50 t + c 2 e - 50 t - 50 c 2 t e - 50 t

q ' 0 =   - 50 c 1 + c 2 = 2

- 50 - 3 250 + c 2 = 2 → c 2 = 7 5

A solução do PVI então é:

q t = - 3 250 e - 50 t + 7 5 t e - 50 t + 3 250

Passo 5

Agora vamos calcular a carga máxima. Ela ocorre onde q ' t = i t = 0 . Derivando...

q ' t = 150 250 e - 50 t + 7 5 e - 50 t - 350 5 t e - 50 t

e - 50 t 2 - 70 t = 0

Como e - 50 t ≠ 0 , temos que 2 - 70 t = 0 ou seja, t = 2 70 = 1 35 .

E aí, calculando q 1 35 , temos:

q 1 35 = - 3 250 e - 50 1 35 + 7 5 1 35 e - 50 35 + 3 250 ≈ 0,01871

Essa é a carga máxima 😉

Resposta

q t = - 3 250 e - 50 t + 7 5 t e - 50 t + 3 250

Carga máxima: 0,01871   c o u l o m b s

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