Enunciado

Uma mola de constante elástica igual a 2N/m tem uma das suas extremidades fixa e uma massa de 0,25 kg é atado à outa extremidade. O sistema está sobre uma mesa que oferece uma força de atrito igual a 3 2 vez a velocidade instantânea. Inicialmente, o peso é deslocado 1 3 m acima da posição de equilíbrio e então solto a partir do repouso. Encontre a equação de movimento se o movimento se dá ao longo de uma reta horizontal que é tida como eixo x .

Passo 1

Opa, tudo bem?

Bom, a equação do movimento é dessa forma aqui:

m d 2 x d t 2 = - k x - β d x d t

Aqui a gente tem:

k = 2

E:

m = 25 100 = 1 4  

E ainda:

β = 3 2

Passo 2

Agora vamos jogar isso tudo na equação:

1 4   d 2 x d t 2 + 2 x + 3 2 d x d t = 0

Resolvendo então, temos a equação auxiliar:

1 4 m 2 + 3 2 m + 2 = 0

Aí encontramos:

m 1 = - 2     e   m 2 = - 4

A solução então é da forma:

x t = c 1 e - 2 t + c 2 e - 4 t

Passo 3

Pelo enunciado, temos:

x 0 = 1 3     e     x ' 0 = 0

Vamos usar isso para descobrir c 1   e   c 2 :

x 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 1 3

c 1 + c 2 = 1 3

E derivando...

x ' t = - 2 c 1 e - 2 t - 4 c 2 e - 4 t

Então...

x ' 0 = - 2 c 1 e 0 - 4 c 2 e 0 = 0

- 2 c 1 - 4 c 2 = 0

c 1 = - 2 c 2

Juntando essas duas relações, temos que:

c 2 = - 1 3

c 1 = 2 3

Nossa equação então é:

x t = 2 3 e - 2 t - 1 3 e - 4 t

Resposta

x t = 2 3 e - 2 t - 1 3 e - 4 t

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