Encontre o centroide da região.

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo x nossa região está entre 0 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f x = 1 - x 2   (por cima) e y = g x = 0 (por baixo).

Como temos 1 4 de um círculo de raio 1 , a área é π 4 .

Nossa integral fica:

x - = 4 π   ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x

Usando substituição simples:

x - = 4 3 π

Passo 3

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 4 π ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 2 - 0 2 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 4 3 π

Resposta

x - , y - = 4 3 π , 4 3 π

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